Apótema o1v1n

O apótema de um polígono é um segmento com extremidades no centro do polígono e no ponto médio de um dos lados. Esse segmento forma um ângulo de 90° com o respectivo lado do polígono. 2i5w5j

Para calcular a medida do apótema, é necessário considerar as características do polígono em questão. Dependendo da forma geométrica, é possível construir uma fórmula para obter essa medida. Uma observação importante é que a medida do apótema de um polígono regular é igual à medida do raio da circunferência inscrita no polígono.

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Resumo sobre o apótema 5l6lt

• O apótema é o segmento de um polígono que liga o centro (ponto de encontro das mediatrizes) ao ponto médio de um dos lados.

• O ângulo entre o apótema e o respectivo lado do polígono mede 90°.

• A medida do apótema de um polígono regular é igual à medida do raio da circunferência inscrita no polígono.

• O apótema OM de um triângulo equilátero de lado l é dado pela fórmula

\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)

• O apótema OM de um quadrado de lado l é dado pela fórmula

\(OM = \frac{l}2\)

• O apótema OM de um hexágono regular de lado l é dado pela fórmula

\(OM = \frac{l\sqrt3}2\)

• O apótema de uma pirâmide é o segmento que une o vértice ao ponto médio de uma das arestas da base, e sua medida pode ser obtida pelo teorema de Pitágoras.

Exemplos de apótema 392o6p

Para encontrar o apótema de um polígono, devemos construir o segmento de reta que une o centro do polígono com o ponto médio de um dos lados. Lembre-se de que o centro de um polígono é o ponto de encontro das mediatrizes.

Nesses exemplos, o apótema foi considerado em polígonos no plano. Entretanto, existe um objeto espacial que possui um tipo diferente de apótema: a pirâmide.

Em uma pirâmide, há dois tipos de apótema: o apótema da base, que é o apótema do polígono que forma a base da pirâmide, e o apótema da pirâmide, que é o segmento que une o vértice ao ponto médio de uma aresta da base (ou seja, é a altura de uma face lateral da pirâmide).

No exemplo de base quadrada abaixo, o segmento OM é o apótema da base e o segmento VM é o apótema da pirâmide, sendo M o ponto médio de BC.

Quais as fórmulas do apótema? 1z5c5o

Conhecendo as características de um polígono, em especial dos polígonos regulares, podemos desenvolver fórmulas para o cálculo da medida do apótema. Vejamos quais são essas fórmulas para os principais polígonos regulares.

• Fórmula do apótema do triângulo equilátero 6u1pc

No caso do triângulo equilátero, a altura e a mediana relativas a um determinado lado são coincidentes. Isso significa que o centro do polígono coincide com o baricentro do triângulo. Assim, o ponto O divide a altura AM da seguinte forma:

\(AO = \frac{2}3 AM\) e \(OM=\frac{1}3 AM\)

Lembre-se de que a medida da altura de um triângulo equilátero de lado l é dada por:

\(Altura\ triângulo\ equilátero=\frac{l\sqrt3}2\)

Portanto, como a AM é altura do triângulo equilátero ABC e o segmento OM é o apótema do triângulo, podemos elaborar a seguinte expressão para a medida de OM, considerando que o lado do triângulo mede l:

\(OM =\frac{1}3 AM = \frac{1}3 ⋅\frac{l\sqrt3}2\)

\(OM = \frac{l\sqrt3}6\)

• Fórmula do apótema do quadrado 3s4m50

No caso do quadrado, a medida do apótema corresponde à metade do comprimento do lado. Assim, se O é o centro do quadrado, M é o ponto médio de um dos lados e l é a medida do lado do quadrado, então a fórmula do apótema OM é

\(OM=\frac{l}2\)

• Fórmula do apótema do hexágono regular 3f4e6r

No hexágono regular, o apótema corresponde à altura de um triângulo equilátero com vértices em duas extremidades de um dos lados e no centro do polígono. No exemplo abaixo, o apótema OM do hexágono regular é a altura do triângulo equilátero OCD, em que M é o ponto médio de CD.

Como comentamos antes, a altura de um triângulo equilátero é conhecida. Assim, se o lado do hexágono regular mede l, então a fórmula do apótema OM é

\(OM =\frac{l\sqrt3}2\)

• Fórmula do apótema da pirâmide 56622y

A medida do apótema da pirâmide pode ser obtida com o auxílio do teorema de Pitágoras. No exemplo abaixo, em uma pirâmide quadrada, o triângulo VOM é retângulo, com catetos VO e OM e hipotenusa VM. Perceba que VO é a altura da pirâmide, OM é o apótema da base e VM é o apótema da pirâmide.

Assim, para determinar a medida do apótema da pirâmide, devemos aplicar o teorema de Pitágoras:

\((VM)^2=(VO)^2+(OM)^2\)

Cuidado! VM é a altura de um triângulo isósceles, não de um triângulo equilátero. Assim, nesse caso, não podemos utilizar a fórmula da altura de um triângulo equilátero.

Como se calcula o apótema? 1t6y5m

Para calcular o apótema de um polígono ou da pirâmide, podemos utilizar as fórmulas construídas ou associar o apótema ao raio da circunferência inscrita.

• Exemplo 1: Considere que uma circunferência de raio 3 cm está inscrita em um triângulo equilátero. Qual a medida do apótema desse triângulo?

Como o apótema de um polígono possui a mesma medida que o raio da circunferência inscrita, o apótema do triângulo mede 3 cm.

• Exemplo 2: Qual a medida do apótema de um hexágono regular com 4 cm de lado?

Utilizando a fórmula para o apótema de um hexágono regular com \(l=4 \) cm, temos que

\(Medida\ do\ apótema=\frac{4\sqrt3}2=2\sqrt3\ cm\)

Leia também: Tudo sobre os pontos notáveis de um triângulo

Exercícios resolvidos sobre o apótema 5h3k64

Questão 1

Se uma pirâmide com 4 cm de altura possui um apótema da base com 3 cm, então a medida do apótema da pirâmide é

a) 5 cm

b) 6 cm

c) 7 cm

d) 8 cm

e) 9 cm

Resolução:

Em uma pirâmide, podemos construir um triângulo retângulo em que um cateto é o apótema da base, o outro cateto é a altura da pirâmide e a hipotenusa é o apótema da pirâmide. Assim, aplicando o teorema de Pitágoras para hipotenusa de medida x,

\(x^2=3^2+4^2\)

\(x = 5\ cm\)

Alternativa A.

Questão 2

Se o apótema de um quadrado mede y cm, então o lado do quadrado mede

a) \(\frac{1}3y \) cm

b) \(\frac{1}2y \) cm

c) y cm

d) 2y cm

e) 3y cm

Resolução

O apótema de um quadrado possui metade da medida do lado do quadrado. Portanto, se o apótema mede y cm, o quadrado mede 2y cm.

Alternativa D.

 

Por Maria Luiza Alves Rizzo
Professora de Matemática