O que é fatoração de polinômios?

Fatoração de polinômios é um conteúdo matemático que reúne técnicas para escrevê-los em forma de produto entre monômios ou até mesmo entre outros polinômios. Essa decomposição é baseada no teorema fundamental da aritmética, que garante o seguinte:

Todo número inteiro maior que 1 pode ser decomposto

em um produto de números primos.

As técnicas usadas para fatorar polinômios – chamadas de casos de fatoração – baseiam-se nas propriedades da multiplicação, em especial na propriedade distributiva. Os seis casos de fatoração de polinômios são os seguintes:

1º caso de fatoração: fator comum em evidência

Observe, no polinômio a seguir, que existe um fator repetindo-se em cada um de seus termos.

4x + ax

Para escrever esse polinômio na forma de produto, coloque esse fator que se repete em evidência. Para isso, basta fazer o processo inverso da propriedade distributiva da seguinte maneira:

x(4 + a)

Observe que, aplicando a propriedade distributiva nessa fatoração, teremos justamente o polinômio inicial. Veja outro exemplo do primeiro caso de fatoração:

4x³ + 6x²

4x³ + 6x² = 2·2xxx + 2·3xx = 2xx(2x + 3) = 2x²(2x + 3)

2° caso de fatoração: agrupamento

Pode ser que, ao colocar fatores comuns em evidência, o resultado seja um polinômio que ainda possui fatores comuns. Então, devemos fazer um segundo o: colocar fatores comuns em evidência novamente.

Assim, a fatoração por agrupamento é uma dupla fatoração por fator comum.

Exemplo:

xy + 4y + 5x + 20

Na primeira fatoração, colocaremos os termos comuns em evidência da seguinte maneira:

y(x + 4) + 5(x + 4)

Observe que o polinômio resultante possui, em seus termos, o fator comum x + 4. Colocando-o em evidência, teremos:

(x + 4)(y + 5)

3º caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito

Esse caso, basicamente, é o contrário de produtos notáveis. Observe o produto notável a seguir:

(x + 5)² = x² + 10x + 25

Na fatoração do trinômio quadrado perfeito, escrevemos polinômios expressos nessa forma como produto notável. Veja um exemplo:

4x² + 12xy + 9y² = (2x + 3y)²

Observe que é preciso garantir que o polinômio é realmente um trinômio quadrado perfeito para fazer esse procedimento.

4º caso de fatoração: diferença de dois quadrados

Polinômios conhecidos como diferença de dois quadrados possuem esta forma:

x² – a²

A sua fatoração é o produto notável conhecido como produto da soma pela diferença. Observe o resultado da fatoração desse polinômio:

x² – a² = (x + a)(x – a)

5º caso de fatoração: soma de dois cubos

Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x³ + y³ pode ser fatorado da seguinte maneira:

x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)

6º caso de fatoração: diferença de dois cubos

Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x³ – y³ pode ser fatorado da seguinte maneira:

x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática